1.公钥与私钥的生成：

  • (1) 随机挑选两个大质数 p 和 q 构造n = p*q;
  • (2)计算欧拉函数φ(n) = (p-1) * (q-1);
  • (3)随机挑选e 使得gcd(e, φ(n)) = 1 即 e 与 φ(n) 互素,gcd指的是求最大公约数;
  • (4)计算d 使得 e*d ≡ 1 (mod φ(n)) 即d 是e 的乘法逆元。

2.加密过程：

  • (1)待加密信息（明文）为 m m < n；（因为要做模运算 若m大于n 则后面的运算不会成立 因此当信息比n要大时 应该分块加密）;

  • (2))密文 c 的生成是 $$ c = m^e mod (n) $$

3.解密

$$c^d mod (n) = (m^e)^d mod (n) = m^(d*e) mod (n) ;$$

3.解密

$$ c^d mod (n) = (m^e)^d mod (n) = m^(d*e) mod (n) ; $$

为什么能解密？

要用到欧拉定理（其实是费马小定理的推广）

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

再推广：a^(φ(n)k) ≡ 1 (mod n)

得到 a^(φ(n)k+1) ≡ a (mod n)

注意到 ed ≡ 1 mod φ(N) 即：ed = 1 + k*φ(N)。

因此 $$M^(de) mod N = M^1 + kφ(N) mod N = M$$

4.代码如下

实例

#coding=utf-8#__author__ = 'ralph'import randomdef extendedGCD(a, b):#a*xi + b*yi = riif b == 0:return (1, 0, a)#a*x1 + b*y1 = ax1 = 1y1 = 0#a*x2 + b*y2 = bx2 = 0y2 = 1while b != 0:q = a / b#ri = r(i-2) % r(i-1)r = a % ba = bb = r#xi = x(i-2) - q*x(i-1)x = x1 - q*x2x1 = x2x2 = x#yi = y(i-2) - q*y(i-1)y = y1 - q*y2y1 = y2y2 = yreturn(x1, y1, a)def computeD(fn, e):(x, y, r) = extendedGCD(fn, e)#y maybe < 0, so convert itif y < 0:return fn + yreturn ydef keyGeneration(p,q,e):#generate public key and private keyn = p * qfn = (p-1) * (q-1)d = computeD(fn, e)return (d,n)p_v = int(raw_input('请输入p的值(10进制)n'))q_v = int(raw_input('请输入q的值(10进制)n'))e_v = int(raw_input('请输入e的值(10进制)n'))c_v = int(raw_input('请输入密文c的值(10进制)n'))(d,n) = keyGeneration(p_v,q_v,e_v) #生成 d和nm = pow(c_v,d,n)print ("得到的明文m是: "+str(m))

当输入p值：18443 q值：49891 e值19

密文c值：

70479679275221115227470416418414022368270835483295235263072905459788476483295235459788476663551792475206804459788476428313374475206804459788476425392137704796792458265677341524652483295235534149509425392137428313374425392137341524652458265677263072905483295235828509797341524652425392137475206804428313374483295235475206804459788476306220148

得到的结果就会显示

得到的明文m是: 88455713